Os últimos dias têm sido férteis de estimativas várias sobre o crescimento dos casos covid-19. Tenho seguido sobretudo Jorge Buescu (que escreveu também no Expresso), Luis Aguiar-Conraria e Carlos Daniel Santos. Jorge Buescu tem, via Observador, uma análise adicional, com estimativas bastante assustadoras sobre o número de casos.

O elemento central neste momento é uma evolução crescente acentuada (tecnicamente exponencial), mas que se sabe não poder ser permanente (a partir de dado momento, tenderá a estabilizar-se o número de novos casos).

O problema central de produzir agora estimativas é como prever o momento de abrandamento, aspecto que a utilização de ajustamentos exponenciais não permite. Existem modelos sofisticados, e a utilização de modelos simples pretende apenas dar uma imagem muito rápida, atualizada com cada nova informação que sai.

Mas antes de ir aos números, foi-me útil fazer o seguinte exercício – se fizesse uma estimativa usando uma função exponencial para os primeiros 20 dias dos números da epidemia na China, onde é que começava a correr mal a previsão?

A Figura seguinte apresenta a resposta – ao fim dos primeiros 20 dias, já se tem um divergência crescente, e usar os primeiros 15 (ou 20) dias com casos positivos para prever um mês ou mais, o erro seria bastante grande, dando a curva exponencial valores muito elevados. (fonte dos dados aqui)

É preciso então começar a prever o que se passa na parte mais à direita da evolução, e para isso pode-se tentar usar a evolução dos outros países que estão mais avançados. A este respeito, só realmente a China conseguiu entrar num período de estabilização (e pouco crescimento de casos). É natural por isso tentar usar a dinâmica da China como uma possibilidade (tanto mais que se estão a adoptar medidas de restrição de circulação, embora com menos limitações do que sucedeu na China – tendo eventualmente em atenção o “salto” no reporte dos dados que é feito).

Uma possibilidade é procurar usar a informação de um modo ligeiramente diferente – pensando numa curva em S (usarei a função logística) – e utilizando a taxa de crescimento e o número de casos para aproximar o melhor possível essa curva em S.

Outra possibilidade é utilizar os dados do processo de crescimento chinês, e ajustar para realidade portuguesa. Também se pode considerar Itália e/ou Espanha. O primeiro passo foi comparar as dinâmicas subjacentes ao crescimento de cada um destes países (tendo em atenção que a informação de Espanha e Itália ainda está sobretudo na fase inicial). A evolução na China, tal como reportada oficialmente, foi mais suave no crescimento enquanto Espanha e Itália apresentam uma aceleração muito rápida.  A Figura 2 ilustra essas diferenças, normalizado a dimensão de cada país – o crescimento demorou a arrancar em Itália e Espanha, mas quando arranca é bastante mais forte.

A Figura seguinte apresenta várias linhas. As bolas a vermelho são os dados reais, segundo o site da Direcção-Geral de Saúde. A linha azul apresenta a previsão segundo a aplicação de uma função exponencial – que como se viu na Figura 1 acima irá sobreestimar o número de casos a partir de uma data (que no momento de hoje não se sabe qual será). Utilizando a velocidade de difusão da epidemia na China, obtém-se a curva laranja. É visível que dos dois últimos dias o crescimento em Portugal está mais acelerado do que ocorreu na China. E como tal é previsível que o número de casos venha a ser superior do que o resultante de se considerar uma evolução similar à chinesa.

A linha verde é a tentativa de obter uma curva em S, obrigando a que o crescimento médio real até ao dia 14 seja igual ao crescimento médio nessa curva em S, escolhendo a parametrização para a mesma que melhor ajuste faz. Vemos que nesse caso, o abrandamento começaria a ocorrer por volta dia 20. É um cenário mais optimista que o crescimento muito elevado da curva exponencial. São daqui a alguns dias, cerca de uma semana, saberemos se os casos estarão a evoluir mais perto da linha verde (curva em S) ou da linha azul (curva exponencial).

É também importante perceber qual a qualidade de ajustamento da curva exponencial e da curva logística, ampliando os primeiros períodos (dias) do processo. Pela Figura 4, vê-se que o ajustamento estatístico aos valores observados é melhor na curva exponencial, e que a situação que ocorreu na China será pouco relevante para Portugal. A curva logística sendo pior nesta fase irá certamente ser uma melhor descrição mais frente, ficando por saber se perceber o que se irá passar no final do mês de março será mais próximo da atual tendência exponencial ou da (tentativa de ajustamento da) curva logística.

Uma palavra final para a utilização da situação de Espanha ou de Itália. O crescimento recente em Espanha está a ser muito mais acelerado do que ocorre em Itália. Mas mais uma vez o crescimento exponencial de Espanha a ser mantido durante mais umas semanas levará um número muito elevado (irrazoável?) de casos, que transposto para Portugal daria também um valor muito elevado. De certa forma, o mesmo se passa com Itália, embora em menor grau. A evolução inicial de Espanha e de Itália foi lenta e só depois acelerou. A estimativa de aplicação da curva logística para Espanha dá quase 29 mil casos, enquanto para Itália a estimativa é de 45 mil casos neste país. Contudo, por ainda não se ter, nos dados, um ponto de inflexão da taxa de crescimento nestes países, a incerteza sobre previsões é bastante elevada.

Daqui decorre uma grande dificuldade em conseguir fazer uma boa previsão do número de casos que ocorrerão em Portugal.

A mensagem principal acaba por ser simples: a utilização da curva exponencial para prever o dia seguinte é, por enquanto, uma boa aproximação, mas deixará de o ser em algum momento. Daí que usar esses modelos para prever a duas semana, ou mais, não é adequado.  Ou seja, as previsões mais assustadoras não são inevitáveis, não só devido às medidas que estão (e que possam vir) a ser adoptadas, como as propriedades matemáticas da curva exponencial podem gerar a partir de certo ponto estimativas demasiado elevadas.

A experiência dos outros países é útil, mas limitada para melhorar estas previsões. A necessidade de modelos de previsão mais completos é clara, e esperamos que estejam a ser usados no planeamento pelo Ministério da Saúde.

Estou certo de que nos próximos dias e provavelmente semanas continuaremos a ter uma discussão sobre os melhores modelos a usar para estas previsões, e veremos também se os valores reais se aproximam mais de algum tipo de previsão.

 

 

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Nota técnica: na curva logística, existem três parâmetros a serem determinados num modelo não linear. Transformando em taxa de crescimento, apenas dois parâmetros são estimados. Utilizando essa estimativa, os valores em níveis permitem obter o terceiro parâmetro. A não linearidade das várias expressões permite a identificação dos vários parâmetros. Utilizando os dados de difusão do processo chinês, utilizam-se dois dos parâmetros, sendo o terceiro parâmetro estimado para ajustar às diferenças de escala entre Portugal e China.