Após alguns dias de interrupção, voltemos ao tema do coronavirus. Primeira constatação, conforme esperado, os valores referentes a casos confirmados de infeção, doentes em UCI e óbitos, continuam a subir. Dentro de dias veremos se as medidas de contenção adoptadas foram suficientes para abrandar estes ritmos de crescimento.

De momento, é necessária não ficar demasiado agarrado aos valores diários, pois se ontem o acréscimo fui muito menor do que o esperado, hoje o valor divulgado recuperou, bastando que tenha sido uma questão de reporte (chamemos-lhe efeito de reporte de Domingo, dado que os dados de segunda-feira dizem respeito ao dia anterior), para que uma evolução demasiado favorável seja compensada por uma desfavorável. Ainda assim, continua-se numa evolução abaixo das piores previsões, mas ainda suficientemente próxima das evoluções que nesta altura outros países, como a Espanha e a Itália, tinham para não abrandar as medidas em curso.

Para os que têm maior vontade de ir fazendo comparações internacionais, um bom site é o do Financial Times (que usa dos dados da John Hopkins que usa os dados, com alguma curadoria, da Organização Mundial de Saúde), ver aqui.

Se quiserem ver uma simulação para Portugal, incluindo simulação dos efeitos que as medidas de distanciamento social podem ter no controle da pandemia, ver aqui, cortesia da Epidemic Forecasting.

E ainda sobre que tipo de comparações fazer, uma explicação bem feita, disponível aqui, sugestão de André C Silva, sobre uma forma possível de perceber quando se começa a ter sucesso no controle da epidemia.

Numa altura em que a tendência é mais de fechar fronteiras, é importante não esquecer os valores de solidariedade e de valores democráticos na Europa – incluindo a ajuda mútua e cooperação entre países na resposta à covid-19 – carta aberta aos Estados Membros e à Comissão Europeia. Mas essa cooperação não é apenas uma questão de solidariedade, é também uma forma de responder a picos de procura que não ocorram ao mesmo tempo em todos os países. Já vemos alguns exemplos disso (entre Alemanha e França), mas o potencial para fazer muito mais, em benefício de todos existe, e os mecanismos formais também lá estão, pelo que cabe agora à decisão política fazer o caminho.

Mais tarde tratarei de ter uma versão em Português.

A Frontex – European Border and Coast Guard Agency publicou uma visão gráfica e rápida das restrições à vida normal atualmente existentes por causa da covid-19 (aqui). Vemos que ainda assim há grande diversidade de estratégias de confinamento. Comum a todos os países, porém, é o encerramento de escolas, incluindo universidades.

Há algumas pequenas diferenças (tanto quanto se sabe a Suécia não fechou as escolas nos graus de ensino mais baixos, até aos 16 anos – ver aqui, por exemplo).

Em Agosto e Setembro, quando se retomar um novo ano lectivo, veremos quais as consequências desta “experiência” forçada, no que respeita a métodos de ensino e resultados dos alunos. Até lá, seria bom que houvesse uma grande recolha de informação sobre o desempenho dos alunos e sobre a forma como os professores estão a ajustar matérias, métodos usados, e formas de relacionamento com os alunos. Eu sei que a preocupação fundamental nos dias de hoje é com o covid-19, mas não registar em detalhe, sobretudo porque muito se passará no mundo digital, este período será algo que provavelmente lamentaremos no futuro.

Um dos efeito colaterais da pandemia covid-19 é uma queda substancial da actividade económica, e os habituais indicadores utilizados para aferir a evolução da economia irão registar evoluções inevitavelmente negativas em 2020.

Foram convidadas várias economistas para dar ao “momentos económicos” a sua estimativa pessoal do possível impacto da Covid-19 na economia portuguesa em 2020, para se ter uma visão complementar às dos “dez economistas” do Expresso.

É naturalmente necessária cautela na interpretação destes valores, face à enorme incerteza sobre a duração e gravidade desta pandemia.

Estas previsões, com as ressalvas expostas, complementam a visão dos dez economistas consultados na edição de 21 de março de 2020 no Semanário Expresso (“PIB em queda e défice a disparar no melhor dos cenários para 2020”).

Responderam às questões do “momentos económicos” Cátia Batista (Nova SBE), Joana Pais (ISEG), Paula Carvalho (BBPI), Sandra Maximiano (ISEG) e Susana Peralta (Nova SBE).

Os quadros seguintes ilustram as semelhanças e diferenças. O valor médio para as estimativas do crescimento do PIB em 2020 fica numa quebra de cerca de 9%, cerca do dobro do efeito cumulativo 2011-2013. Em termos de desemprego, a subida para perto dos 10% deixa ainda assim a economia num patamar melhor do que foi o nível de desemprego no auge dos tempos da troika. Já a previsão média dos efeitos sobre o défice público deixam-nos ao nível do que foram os anos 2009-2010, e que depois levaram à crise da dívida pública e à intervenção da troika. Resumindo, haverá uma quebra substancial na atividade económica, ainda assim com uma certa proteção do emprego, e que nos faz voltar atrás cerca de 10 anos, para os tempos da crise financeira internacional que precedeu o pedido de ajuda e os “tempos da troika”.

Fonte: Expresso (para os “dez economistas”), elaboração própria (para “as economistas”)

Em declarações ao “momentos económicos”, Susana Peralta (Nova SBE) referiu a importância de “ser necessário financiar diretamente as famílias; houve sectores de atividade ligados aos serviços que foram fechados de um dia para o outro por ordem do governo.” As características do mercado de trabalho português, em que existe um número muito substancial de trabalhadores sem contratos permanentes, exige uma resposta que vá directamente ao problema. Novamente, nas palavras de Susana Peralta “Muitas das pessoas que trabalham nestes sectores não têm vínculos contratuais e o governo não vai conseguir apoiá-las via empresas.” Se em tempos normais, as empresas optaram por não ter vínculos permanentes, não será nas actuais condições extraordinárias que o irão fazer. A queda de rendimentos dos trabalhadores, espera-se que temporária, exige por isso uma intervenção direta.

A resposta das autoridades económicas merece também um forte reparo de Susana Peralta, que defende a uma atuação forte do BCE, e da EU em geral, pois se não o fizer “estará a renegar a própria razão histórica que levou à sua fundação: um projeto solidário de nações no rescaldo de uma guerra que destruiu o continente”

[Nota final: o pedido de previsões / estimativas foi feito a 10 economistas portuguesas, conforme for recebendo mais previsões irei atualizando os quadros e os comentários.]

[Editado: 25/03/2020, 18h50; 30/03/2020, para incluir contribuições adicionais]

Hoje houve um conjunto de declarações (Presidente da República, Primeiro-Ministro, líder do maior partido da oposição parlamentar) que voltaram a falar da “curva” e do “achatamento da curva”. Juntando a vários comentários que tem sido feitos em diversos meios, e ideias e análises que têm sido partilhadas, creio que se justifica voltar a ter alguma troca de ideias.

Tanto quanto consigo traçar, o início deste interesse público foi muito impulsionado pelo trabalho do Jorge Buescu, com projecções baseadas numa curva exponencial. A discussão que se seguiu acabou por estimular um conjunto de reflexões e análises. A que se junta um seguimento diário por muita gente da comunicação dos novos valores de pessoas infectadas (no site da direção geral de saúde).

A propósito desses números e das várias análise que vão sendo produzidas, dois comentários breves, ambos no sentido de ser necessário usar modelos de previsão mais sofisticados. A informação passada é compatível com diferentes evoluções futuras, pelo que é necessário outro tipo de modelização, que permita trazer informação adicional para tornar as previsões mais precisas, nomeadamente a médio prazo.

Tomando esta evolução que podemos então dizer?  a) a evolução recente não foi tão negativa nos números oficiais como algumas previsões apontavam na semana passada; b) de modo algum se pode neste momento aligeirar os medidas de emergência adoptadas, uma vez que o crescimento de pessoas infectadas continua a um ritmo elevado.

Ou seja, reduzir a ansiedade com as previsões, respeitar as medidas de contenção, é o que há a fazer.

Vamos então aos comentários mais técnicos (e fechar esta forma de acompanhar a evolução por uns dias).

Primeiro, a previsão do que vai ser o ponto alto da pandemia e quando vai ser tem que ser obtida com modelos mais complexos, mais estruturais no sentido de preverem a evolução do contágio. Existem várias possibilidades para especificar esses modelos, e creio que em breve surgirão análises que os usam. Enquanto não estão colocados em discussão, deixo a possibilidade de simularem livremente nesta versão online (excelente sugestão do Giacomo Balbinotto). É preciso ter uma ideia dos parâmetros relevantes para se conseguir fazer uma análise relevante. O ideal é esses parâmetros serem obtidos de informação sobre a realidade portuguesa, e não havendo retirar estimativas da literatura internacional e do que se passa noutros países. Um ponto de partida está na descrição deste outro modelo, calibrado para a situação inglesa, e que apresenta vários dos parâmetros relevantes.

Segundo, a utilização dos modelos simples, como a curva exponencial e a curva logística, baseadas em valores passados, em análise de regressão, acabam por ter pouco valor como elemento de previsão para um futuro a médio prazo. Durante o período de crescimento exponencial do número de infectados, as duas curvas não são muito diferentes. E conforme mais informação vai sendo recolhida, existe uma aproximação das duas curvas enquanto não se atingir o ponto mais alto da epidemia. A figura seguinte ilustra com a apresentação do que é a construção destas curvas com base na informação de há uma semana atrás e com base na informação de hoje. Daqui verifica-se que a curva exponencial tem sobre-estimado os casos, enquanto a curva logística tende a sub-estimar. A evolução real tem sido no meio das duas curvas, significando que não devemos usar qualquer delas, neste momento, para prever a prazo com segurança. Conforme formos avançando, é provável que a curva logística se vá comportando melhor (sobretudo a partir do momento em que se passe o ponto alto de epidemia). Mas de momento, quem quiser fazer previsões, proponho que regresse ao ponto primeiro acima. Caso se queira fazer uma previsão para os próximos dias que seja mais fiável, a proposta é utilizar uma outra curva ainda (curva Gompertz), que o Luis Sá ilustra na figura 2 abaixo.

Figura 1: a comparação das curvas, e sua evolução numa semana

nota: as linhas laranja e azul correspondem aos valores de há uma semana; as curvas verde e vermelha correspondem aos valores de hoje.

Vê-se que a linha laranja “corrige” para cima e a linha azul “corrige” para a verde.

Figura 2: utilizando outra curva (a Gompertz), consegue uma melhor previsão de curto prazo, no meio da evolução das outras duas curvas.

Fonte: Luis Sá, Univ do Minho

Tem sido discutido o equilíbrio necessário entre o recolhimento para evitar contágio e garantir que um mínimo de atividade económica decorre para sustentar a vida de todos os dias em confinamento.

A redução da atividade económica também significa que os mecanismos habituais de funcionamento da economia são alterados, nomeadamente nas cadeias logísticas, que são frequentemente internacionais – um produto pode ser montado num país com elementos feitos em muitos outros países. Há mesmo situações em que peças sucessivamente montadas passam várias vezes a mesma fronteira de um lado o outro. Manter estes mecanismos a funcionar é crucial para que não haja falta de bens. Não é possível nem desejável pensar que cada país poderá ser uma “ilha” produzindo tudo o que é necessário, embora seja natural algum reordenar de produção interna para produtos e serviços associados  à covid-19. Mas não deixará ser mais forte e mais decisiva uma resposta à escala europeia, que mantenha a capacidade produtiva global.

E como tempos excepcionais exigem mecanismos excepcionais por eventual falha dos habituais, é preciso pensar como manter os processos produtivos a funcionar, o que levou a uma proposta de um conjunto de economistas, disponibilizada aqui.

Primeiro dia em estado de emergência. Olhando pela janela, não há grande diferença face ao dia de ontem, que foi já bastante vazio na rua. O dia de trabalho transformado num conjunto de videochamadas seguidas. É a substituição das reuniões presenciais pelos novos modelos de teletrabalho colectivos. Curioso, porque quando se falava em teletrabalho, associava a distância do local habitual de trabalho, mas sobretudo trabalho solitário, com umas quantas mensagens ou telefonemas quando muito. Mas agora, com tudo passado para comunicação remota, volta a gestão de reuniões simultâneas – aliás, será de perceber se pode passar a estar em duas ou mais reuniões ao mesmo tempo. Mas também terá de ser desenvolvida toda uma nova “etiqueta” a aplicar nestas reuniões – a capacidade de distração em reuniões grandes passa a ser muito maior, é mais fácil estar a fazer outras coisas ao mesmo tempo – não é claro se irá diminuir ou aumentar a produtividade das reuniões na verdade.

Toda esta transição torna ainda mais essenciais duas infra-estruturas de rede: electricidade e telecomunicações (internet). Se não falharem nos próximos tempos, o choque económico será menos negativo.

Tal como recomendado pela Organização Mundial de Saúde, ver noticias apenas duas vezes por dia é central para concentrar a atenção no que precisa de ser feito. E das noticias, destaco duas delas. A primeira, uma preocupação crescente com as consequências económicas e sociais do estado de emergência. A segunda, uma menor obsessão (pareceu-me) com os números de casos – que voltaram a crescer mas dando um bom sinal pelo segundo dia consecutivo. No entanto, estamos ainda muito longe de ter o problema resolvido, e o sinal só é verdadeiramente bom se refletir uma menor pressão sobre os serviços de saúde por evolução menos rápida dos contágios.

Para amanhã, um comentário sobre as medidas que serão anunciadas pelo Governo para o estado de emergência.

(aviso: este post é longo, e tem uma componente técnica de suporte apresentada no final)

A última semana foi feita às curvas e contracurvas, com diversas medidas destinadas a conter a difusão da Covid-19 a serem tomadas, culminando com a declaração do estado de emergência.

No meio desta turbulência, uma discussão que normalmente seria obscura e apenas para alguns com uma costela mais nerd acabou por despertar forte atenção pública (e até paixões e ódios): saber se o crescimento da epidemia pode ser previsto com a denominada curva exponencial. Jorge Buescu, num conjunto de artigos no Observador (aqui e aqui) e num grupo de discussão no facebook, teve o mérito de lançar a discussão e chamar a atenção com as previsões de doentes que a aplicação dessa metodologia gerou (análise de regressão com utilização de curva exponencial).

Porque há formas diferentes de obter previsões e porque é conhecido que se numa fase inicial de uma epidemia esta se comporta com um padrão de crescimento exponencial, é igualmente sabido que em algum momento esse crescimento exponencial dará lugar a uma inversão, com abrandamento do crescimento (o chamado ponto de inflexão, em que a taxa de crescimento  de novos doentes passa a ser menor do que no dia anterior).

Daqui resulta que se a intenção for prever o número de doentes com covid-19 identificados pelo sistema de saúde num futuro próximo (medido em poucos dias) numa fase inicial do processo (como aquele em que nos encontramos), então a curva exponencial é uma forma simples e relativamente expedita de fazer essa previsão. E muitos têm sido os que a utilizam (aliás, se me pedirem a melhor previsão para amanhã, com base nos dados mais recentes, então essa também será a minha melhor previsão). A este respeito, deixo também aqui a ligação para o site da Associação Nacional de Médicos de Saúde Pública (ANMSP), que estabeleceu um acompanhamento da situação, com uma previsão, com a disponibilização da descrição da metodologia usada (tab “métodos” na página da ANMSP).

Diferente é se quiser prever para daqui a uma semana ou daqui a 15 dias, por exemplo. Para um horizonte mais longo, é inevitável que o processo de crescimento deixe de ser exponencial (basta pensar que no prazo de um mês não é possível ter 12 milhões de doentes de covid-19 num país com pouco mais de 10 milhões de habitantes). Este elemento é conhecido dos que estão a estimar modelos de curva exponencial para esta fase (mas com base em comentários de outras pessoas, há ainda alguma confusão sobre esse aspecto).

Daí que a previsão além dos próximos dias exija outras abordagens e esteja sujeita a mais incerteza. A utilização da curva logística como instrumento permite acomodar a redução da taxa de crescimento ao fim de algum tempo que irá necessariamente ocorrer.   A questão que se coloca em termos técnicos é qual a melhor forma de estabelecer essa curva logística – o que iremos observar será influenciado pela dinâmica natural do processo de contágio da doença e pelas políticas adoptadas com a intenção de o influenciar. A este respeito, deixo esta ilustração muito bem conseguida no Washington Post.

Claro que há alternativas à utilização da curva logística, construindo modelos mais detalhados, em que a dinâmica de contágio de pessoas saudáveis depende explicitamente de quantos indivíduos infectados circulam na população e quantos contactos realizam antes de deixar essa situação. Estas dinâmicas complicam-se quando são influenciadas por medidas adoptadas (se ainda não viu a ilustração do Washington Post, vá ao link no final do parágrafo acima). A complexidade é maior se se vier a dar o caso de que ter a covid-19 não gera imunidade futura, podendo voltar a ser contraída. A construção desse tipo de modelos demora mais tempo e exige mais informação, bem como o conhecimento técnico adequado.

A curva logística surge aqui como uma forma resumida de apanhar esses vários efeitos, e sendo a mais rápida construção uma vantagem, perde na capacidade de avaliar explicitamente efeitos das medidas distanciamento social e de contenção. Permite porém de uma forma mais rápida ter uma ideia do impacto global da infecção, em número de pessoas que previsivelmente terão covid-19.

No atual momento, dois aspectos são claros nas tentativas de construir uma curva logística: a) a sua parte inicial, tendo também um comportamento perto da curva exponencial, permite igualmente uma boa previsão a curto prazo; b) dependendo de parâmetros de caracterização, a forma de cálculo destes influencia o resultado final, podemos assim obter resultados diversos para a estimativa final do número de pessoas que contrairá a covid-19.

O meu post anterior ilustrou o primeiro ponto acima, em que para uma descrição quase idêntica da evolução inicial, a curva logística vai apresentar valores a médio prazo muito mais baixos que a curva exponencial, pela natureza explosiva desta última.

As figuras seguintes ilustram o segundo ponto: com formas diferentes de dar valores à curva logística chegamos a estimativas de pessoas com covid-19 diferentes – a figura abaixo apresenta duas dessas possibilidades (“curva logística” e “curva logística suave”, na Figura 1). Claro que conforme formos avançando no processo, a informação do que for sucedendo irá levar a uma revisão das estimativas e a uma convergência de valores. Mas esse efeito é de pouca utilidade quando se quer ter hoje uma ideia de quantas pessoas terão a covid-19, para ajudar na definição dos recursos necessários.

Figura 1: curvas logísticas e exponencial calculadas com os valores diários de doentes (DGS) (versões mais suaves, provavelmente demasiado optimistas) (atualizada a 19/03/2020)

Luis Sá (Univ Minho) fez contas similares, e com uma parametrização ligeiramente diferente obteve resultados diferentes, que mudaram muito de ontem para hoje, dado o valor favorável publicado hoje (19 de março de 2020, referente a 18 de março de 2020), mostrando a sensibilidade da estimação a médio e longo prazo à informação disponível.

Figura 2: curva logistica (calculada por Luis Sá, U Minho, atualizada a 19/03/2020)

Figura 3: curva logística (calculada por Luis Sá, U Minho, atualizada a 18/03/2020)

Para Itália, Gonçalo Correia Lopes (U Aveiro) tem uma comparação similar entre as duas curvas, exponencial e logística.

Figura 4: evolução em Itália (cálculos de Gonçalo Correia Lopes)

O debate que tem havido, por vezes com posições desnecessariamente extremadas, acaba por ser útil por trazer ideias, explicações, informação que é importante para estabelecer a melhor forma de prever as situações futuras. A este respeito, deixo como sugestão de leitura o texto de Alexandre Abreu no Expresso. Por exemplo, ao se elaborar um modelo matemático para descrição dos dados que é muito elegante mas impossível nos mecanismos biológicos da doença, ter um biólogo a apontar esse aspecto é relevante para rever o modelo de previsão.

Por isso, manter uma abertura intelectual e uma capacidade de escuta das visões dos outros, com sentido crítico mútuo, sem ser adversarial, ter disponibilidade de dados e fazer uma sua utilização adequada, será a  melhor forma de avançar no objectivo de uma boa previsão.

As consequências de cada um se isolar no seu mundo são ilustradas por um dos melhores gráficos que surgiu nos últimos dias, disponibilizado por Pedro Magalhães no facebook, que trazendo algum humor nos questiona sobre as oportunidades que devemos não perder para fazermos melhor estas previsões. Para que possam ser úteis a quem as quiser usar.

(nota: a escala dos casos é logaritmica)

A propósito desta discussão recebi muitos comentários que me fizeram pensar em argumentos e ângulos novos, e perceber limitações e possíveis extensões deste tipo de análises, bem como sugestões de leituras / videos. Deixo aqui alguns, por mero gosto pessoal (são anónimos porque me foram enviados privadamente, e pedi autorização aos autores para os divulgar, editados por mim), e sem qualquer ordem especial:

a) Creio que a tua explicação só peca por mecânica: teria sido interessante explicar porque é logística a curva. (…)
A curva começa a crescer menos e a estacionar na parte superior devido à tal “herd immunity”, ou imunidade de grupo ou de “horda”. Tal acontece quando vai diminuindo o número dos “suscetíveis”, por dentro do grupo estarem a ser muitos mais os infetados, com ou sem sintomas clínicos. É por isso que é tão importante o confinamento dos grupos, para que não haja contactos, muito menos esporádicos, de uns com os outros. A decisão do encerramento foi desastrosa em Itália por ter levado os estudantes para as residências secundárias de pais e avós, situadas a centro e sul do foco inicial. A nossa decisão, embora para mim devesse ter esperado cinco dias, foi tomada por óbvia pressão social e [levou a] encerramentos não supervisionados. estes só não foram desastrosos como em Itália por o Governo ter ordenado o confinamento quase imediato. E mesmo assim ainda iremos amargar as 36 horas entre a aplicação prática de ambas as decisões.
Informação sobre a Herd immunity pode ser obtida em Lilianfeld, Abraham, Principles of Epidemiology (…);

b) Tudo se torna mais difícil de calcular quando aquilo que se conhece são só os casos graves, havendo, pelo que se conhece da informação transmitida, muitos casos ligeiros não diagnosticados. Por cá ainda só existe indicação para testar os casos de doença respiratória grave. Países como a Alemanha e Coreia que foram mais além no testar têm uma taxa de mortalidade mais baixa.
A Itália terá uma taxa mais alta de mortalidade porque, tal a como na China, quando deu por isso já a doença estava disseminada na comunidade, havendo muito subdiagnóstico. Aliás só assim se explica como tantos estrangeiros se “infectaram” em Itália e “exportaram” a doença para os seus países, quando ainda havia relativamente poucos casos conhecidos.
Não sei se a curva de “doentes” será a mesma da dos “infectados” (formas minor+formas graves).

c) plano das autoridades italianas, aqui, com a descrição das medidas adoptadas e do seu timing.

d) Ted Talk de Bill Gates, 2015, The next outbreak? we’ re not ready – nem naquela altura, bem agora.

e) o texto de André Peralta-Santos no Público, Pandemias, instituições e open source.

f)  Sobre o meu artigo no observador (resultante do meu post anterior):  “(…) não se trata de uma questão de crença. É antes uma questão do domínio da biologia em conjunto com a matemática. Na verdade, este tipo de discussões demostra a importância de abordagens multidisciplinares. Enquanto biólogo, penso que a questão passa por analisar taxas de crescimento e ter a noção de que são os recursos do sistema que limitam o crescimento. Neste caso específico, é a “disponibilidade de humanos” que faz o factor exponencial ser maior ou menor. Assim, os modelos têm de ser ajustados no dia a dia e para isso é importante ter bons números, para ajustar as previsões e poder ter dados mais fiáveis. Certo que os modelos são dependentes da quantidade dos dados existentes, por isso a importância de integrar conhecimento de diferentes disciplinas à priori, para evitar más previsões a longo prazo.”

g) duas sugestões de leitura no facebook: Luis Vicente (aqui) e Filipa Vala (via Guadalupe Simões) (aqui), além do grupo criado pelo Jorge Buescu (aqui) (acesso por autorização), onde se encontram muitos comentários interessantes.

Em resumo, a) muitas das diferenças que surgem na discussão resultam de perspectivas distintas- prever os próximos dois ou três dias, versus perceber o que será a dimensão total; b) a incerteza a prever a mais de dois ou três dias é ainda bastante grande; c) a discussão tem tido uma considerável participação cívica.

Para os próximos dias, parece-me importante continuar o caminho de redução iniciado de contenção e evitar a ansiedade criada por estar sempre a vigiar a revelação de novos números (uma vez que uns dias serão mais positivos e outros mais negativos).

Anexo Técnico:

A evolução da curva exponencial: tem-se falado da curva exponencial como sendo uma única curva. Na verdade, cada vez que sai um novo valor, cada dia, para o número de doentes em Portugal, é, ou deve ser, atualizada a curva. Curiosamente, tem havido uma evolução sucessiva da curva exponencial, tornando-se menos exponencial ao longo dos dias. Significa que há uma semana atrás a previsão do valor de doentes para o dia de hoje é muito maior do que o valor realmente observado, e maior do que o valor previsto com base em toda a informação até ontem. Este sucessivo abaixamento da curva exponencial é ele próprio um sinal favorável, ainda que bastante ténue ainda.

A figura seguinte ilustra essa evolução, enquanto o quadro apresenta a diferença crescente entre a projecção da curva exponencial que era possível estimar há uma semana, e o que é a realidade de hoje.

Figura 4: a evolução ao longo dos dias da curva exponencial

É interessante ver qual o erro de previsão para os dois últimos dias conhecidos (18 e 19 de Março 2020), em que o erro de previsão aumenta consideravelmente quando se usa estimativas da curva exponencial da semana passada – utilizando a informação até 11 de março de 2020 para estimar uma curva exponencial, e prevendo para uma semana depois, o valor estimado de casos é de 1358, o valor real foi 785, que é cerca de 58% do valor previsto. Há por isso um desvio importante na previsão.

Métodos: curva logistica

A equação estimada da curva logística tem a seguinte forma y = b1 * (1+exp(-b2*(x – b3))^(-1).

Foram usados dois métodos de estimação, que produzem resultados não muito diferentes. O primeiro envolveu optimização não-linear para obter os melhores valores possíveis dos parâmetros da curva, de forma a reproduzir as observações que já existem. O segundo método consistiu em primeiro estimar dois parâmetros (b2 e b3) de forma a reproduzirem da melhor forma possível a taxa de crescimento observada em Portugal. Tendo estas estimativas, recuperou-se, utilizando o valor absoluto de doentes em Portugal por dia, o parâmetro de escala final, que é essencialmente similar. A tabela seguinte reproduz os valores obtidos para a estimativa pontual.

Um dos aspectos que mudou radicalmente nas últimas semanas é a capacidade de viajar globalmente, em que sucessivamente se vão estabelecendo limitações às deslocações como forma de conter ou pelo menos atrasar a contaminação pelo coronavirus da covid-19.

A essas limitações junta-se, num número crescente de países, o conjunto de medidas de distanciamento social, incluindo quarentenas voluntárias e forçadas, reduzindo a procura de viagens aéreas, que leva as companhias de aviação a reduzir (naturalmente) a sua oferta.

Daqui resulta que um número substancial de pessoas enfrenta dificuldades inesperadas em regressar a casa, como dá conta aqui o Guardian (e certamente outros jornais). Dentro destes grupos há quem tenha decidido viajar porque “os preços eram baratos e afinal o coronavirus não é assim tão grave” e quem tenha viajado por motivos pessoais (visitar família) ou profissionais (e podemos incluir aqui os estudantes Erasmus dentro da Europa). Para quem, por qualquer motivo profissional ou pessoal, se encontra fora do país, junta-se agora a ansiedade e angústia do coronavirus e da capacidade de regresso (ou a necessidade de eventualmente sobreviver noutro país, de forma inesperada, por algum tempo – dias? semanas?).

Aliás, toda a parte de saúde mental no contexto do coronavirus teve uma atenção recente da Organização Mundial de Saúde, aqui,  com um conjunto de recomendações para cada um adaptar.

No imediato, o próprio acto de viajar mudou – entrar num avião com pessoal de cabine a utilizar máscaras introduz logo um elemento de preocupação dantes ausente. A prazo, a própria noção de turismo poderá ser alterada, e demorar tempo a recuperar o nível de mobilidade internacional que tinha sido atingido. E não é claro se todas estas alterações não levaram a um maior “isolamento nacionalista”, com cada país a voltar-se para dentro. Significa que depois de passada a urgência da pandemia será preciso reafirmar a abertura entre países, não só económica como social?

[adicionado: um artigo de Rui Pena Pires, na linha do que pode estar a mudar socialmente]

Os últimos dias têm sido férteis de estimativas várias sobre o crescimento dos casos covid-19. Tenho seguido sobretudo Jorge Buescu (que escreveu também no Expresso), Luis Aguiar-Conraria e Carlos Daniel Santos. Jorge Buescu tem, via Observador, uma análise adicional, com estimativas bastante assustadoras sobre o número de casos.

O elemento central neste momento é uma evolução crescente acentuada (tecnicamente exponencial), mas que se sabe não poder ser permanente (a partir de dado momento, tenderá a estabilizar-se o número de novos casos).

O problema central de produzir agora estimativas é como prever o momento de abrandamento, aspecto que a utilização de ajustamentos exponenciais não permite. Existem modelos sofisticados, e a utilização de modelos simples pretende apenas dar uma imagem muito rápida, atualizada com cada nova informação que sai.

Mas antes de ir aos números, foi-me útil fazer o seguinte exercício – se fizesse uma estimativa usando uma função exponencial para os primeiros 20 dias dos números da epidemia na China, onde é que começava a correr mal a previsão?

A Figura seguinte apresenta a resposta – ao fim dos primeiros 20 dias, já se tem um divergência crescente, e usar os primeiros 15 (ou 20) dias com casos positivos para prever um mês ou mais, o erro seria bastante grande, dando a curva exponencial valores muito elevados. (fonte dos dados aqui)

É preciso então começar a prever o que se passa na parte mais à direita da evolução, e para isso pode-se tentar usar a evolução dos outros países que estão mais avançados. A este respeito, só realmente a China conseguiu entrar num período de estabilização (e pouco crescimento de casos). É natural por isso tentar usar a dinâmica da China como uma possibilidade (tanto mais que se estão a adoptar medidas de restrição de circulação, embora com menos limitações do que sucedeu na China – tendo eventualmente em atenção o “salto” no reporte dos dados que é feito).

Uma possibilidade é procurar usar a informação de um modo ligeiramente diferente – pensando numa curva em S (usarei a função logística) – e utilizando a taxa de crescimento e o número de casos para aproximar o melhor possível essa curva em S.

Outra possibilidade é utilizar os dados do processo de crescimento chinês, e ajustar para realidade portuguesa. Também se pode considerar Itália e/ou Espanha. O primeiro passo foi comparar as dinâmicas subjacentes ao crescimento de cada um destes países (tendo em atenção que a informação de Espanha e Itália ainda está sobretudo na fase inicial). A evolução na China, tal como reportada oficialmente, foi mais suave no crescimento enquanto Espanha e Itália apresentam uma aceleração muito rápida.  A Figura 2 ilustra essas diferenças, normalizado a dimensão de cada país – o crescimento demorou a arrancar em Itália e Espanha, mas quando arranca é bastante mais forte.

A Figura seguinte apresenta várias linhas. As bolas a vermelho são os dados reais, segundo o site da Direcção-Geral de Saúde. A linha azul apresenta a previsão segundo a aplicação de uma função exponencial – que como se viu na Figura 1 acima irá sobreestimar o número de casos a partir de uma data (que no momento de hoje não se sabe qual será). Utilizando a velocidade de difusão da epidemia na China, obtém-se a curva laranja. É visível que dos dois últimos dias o crescimento em Portugal está mais acelerado do que ocorreu na China. E como tal é previsível que o número de casos venha a ser superior do que o resultante de se considerar uma evolução similar à chinesa.

A linha verde é a tentativa de obter uma curva em S, obrigando a que o crescimento médio real até ao dia 14 seja igual ao crescimento médio nessa curva em S, escolhendo a parametrização para a mesma que melhor ajuste faz. Vemos que nesse caso, o abrandamento começaria a ocorrer por volta dia 20. É um cenário mais optimista que o crescimento muito elevado da curva exponencial. São daqui a alguns dias, cerca de uma semana, saberemos se os casos estarão a evoluir mais perto da linha verde (curva em S) ou da linha azul (curva exponencial).

É também importante perceber qual a qualidade de ajustamento da curva exponencial e da curva logística, ampliando os primeiros períodos (dias) do processo. Pela Figura 4, vê-se que o ajustamento estatístico aos valores observados é melhor na curva exponencial, e que a situação que ocorreu na China será pouco relevante para Portugal. A curva logística sendo pior nesta fase irá certamente ser uma melhor descrição mais frente, ficando por saber se perceber o que se irá passar no final do mês de março será mais próximo da atual tendência exponencial ou da (tentativa de ajustamento da) curva logística.

Uma palavra final para a utilização da situação de Espanha ou de Itália. O crescimento recente em Espanha está a ser muito mais acelerado do que ocorre em Itália. Mas mais uma vez o crescimento exponencial de Espanha a ser mantido durante mais umas semanas levará um número muito elevado (irrazoável?) de casos, que transposto para Portugal daria também um valor muito elevado. De certa forma, o mesmo se passa com Itália, embora em menor grau. A evolução inicial de Espanha e de Itália foi lenta e só depois acelerou. A estimativa de aplicação da curva logística para Espanha dá quase 29 mil casos, enquanto para Itália a estimativa é de 45 mil casos neste país. Contudo, por ainda não se ter, nos dados, um ponto de inflexão da taxa de crescimento nestes países, a incerteza sobre previsões é bastante elevada.

Daqui decorre uma grande dificuldade em conseguir fazer uma boa previsão do número de casos que ocorrerão em Portugal.

A mensagem principal acaba por ser simples: a utilização da curva exponencial para prever o dia seguinte é, por enquanto, uma boa aproximação, mas deixará de o ser em algum momento. Daí que usar esses modelos para prever a duas semana, ou mais, não é adequado.  Ou seja, as previsões mais assustadoras não são inevitáveis, não só devido às medidas que estão (e que possam vir) a ser adoptadas, como as propriedades matemáticas da curva exponencial podem gerar a partir de certo ponto estimativas demasiado elevadas.

A experiência dos outros países é útil, mas limitada para melhorar estas previsões. A necessidade de modelos de previsão mais completos é clara, e esperamos que estejam a ser usados no planeamento pelo Ministério da Saúde.

Estou certo de que nos próximos dias e provavelmente semanas continuaremos a ter uma discussão sobre os melhores modelos a usar para estas previsões, e veremos também se os valores reais se aproximam mais de algum tipo de previsão.

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Nota técnica: na curva logística, existem três parâmetros a serem determinados num modelo não linear. Transformando em taxa de crescimento, apenas dois parâmetros são estimados. Utilizando essa estimativa, os valores em níveis permitem obter o terceiro parâmetro. A não linearidade das várias expressões permite a identificação dos vários parâmetros. Utilizando os dados de difusão do processo chinês, utilizam-se dois dos parâmetros, sendo o terceiro parâmetro estimado para ajustar às diferenças de escala entre Portugal e China.